Итак, если функция от \(x\) задана в виде композиции двух функций \(y=f(g(x))\), то производная \(y\) по \(x\) имеет вид:
\[y'=\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x).\]
Или в другой форме записи производной:
\[y'=\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}\]
Эта формула называется цепным правилом или правилом дифференцирования сложной функции. Функция \(g\) называется внутренней функцией, функция \(f\) называется внешней функцией.
Для примера, рассмотрим функцию \(\cos(x^2)\). Внутренняя функция \(g(x)=x^2\), внешняя функция \(f(g)=\cos(g)\), тогда мы получаем \(\cos(x^2)=f(g(x))\).
Найдем производную:
\[y'=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}=-\sin(g)\cdot 2x = -\sin(x^2) \cdot 2x.\]
Типичные ошибки при решении задач на нахождение производных сложной функции
Очень часто при решении задач на нахождение производной путают произведение двух функций и композицию функций, например \(\ln(\sin(x))\) и \(\ln (x) \sin(x)\) . В первом случае это сложная функция с внутренней функцией \(\sin(x)\) и внешней функцией \(\ln(x)\), во втором случае это просто произведение функций \(\ln(x)\) и \(\sin(x)\).Еще одна частая ошибка, это когда путаются внутренние и внешние функции. К примеру, в функции \(\cos^2(x)\), внешняя фукция \(x^2\) и внутренняя \(\cos(x)\). Но очень часто многие совершают ошибку и считают \(\cos(x)\) внешней функцией.
Примеры решения
Пример 1: Найдите производную функции \(y=\sqrt{\cos x}\).Решение:
\[y'=\frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}.\]
Пример 2: Найдите производную функции \(y=(8+7x)^4\).
Решение:
\[y'=4(8+7x)^3\cdot 7=28(8+7x)^3.\]
Пример 3: Найдите производную функции \(y=(5-6x)^5\).
Решение:
\[y'=5(5-6x)^4\cdot (-6)=-30 \cdot (5-6x)^4.\]
Пример 4: Найдите производную функции \(y=\sqrt{4x+1}\).
Решение:
\[y'=\frac{1}{2\sqrt{4x+1}} \cdot 4=\frac{2}{\sqrt{4x+1}} .\]
Пример 5: Найдите производную функции \(y=\cos(5x-9)\).
Решение:
\[y'=-\sin(5x-9) \cdot 5=-5 \sin(5x-9).\]
Дополнительные статьи:
Комментариев нет:
Отправить комментарий