Производная сложной функции

Функция называется сложной (или композицией функций), если может быть представлена в виде $f(g(x))$. Иначе говоря, функция в функции, или функция от функции.
Итак, если функция от $x$ задана в виде композиции двух функций $y=f(g(x))$, то производная $y$ по $x$ имеет вид:
$$y'=\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x).$$
Или в другой форме записи производной:
$$y'=\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$$

Эта формула называется цепным правилом или правилом дифференцирования сложной функции. Функция $g$ называется внутренней функцией, функция $f$ называется внешней функцией.

Для примера, рассмотрим функцию $\cos(x^2)$. Внутренняя функция $g(x)=x^2$, внешняя функция $f(g)=\cos(g)$, тогда мы получаем $\cos(x^2)=f(g(x))$.
Найдем производную:
$$y'=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}=-\sin(g)\cdot 2x = -\sin(x^2) \cdot 2x.$$

Типичные ошибки при решении задач на нахождение производных сложной функции

Очень часто при решении задач на нахождение производной путают произведение двух функций и композицию функций, например $\ln(\sin(x))$ и $\ln (x) \sin(x)$ . В первом случае это сложная функция с внутренней функцией $\sin(x)$ и внешней функцией $\ln(x)$, во втором случае это просто произведение функций $\ln(x)$ и $\sin(x)$.
Еще одна частая ошибка, это когда путаются внутренние и внешние функции. К примеру, в функции $\cos^2(x)$, внешняя фукция $x^2$ и внутренняя $\cos(x)$. Но очень часто многие совершают ошибку и считают $\cos(x)$ внешней функцией.

Примеры решения

Пример 1: Найдите производную функции $y=\sqrt{\cos x}$.
Решение:
$$y'=\frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}.$$

Пример 2: Найдите производную функции $y=(8+7x)^4$.
Решение:
$$y'=4(8+7x)^3\cdot 7=28(8+7x)^3.$$

Пример 3: Найдите производную функции $y=(5-6x)^5$.
Решение:
$$y'=5(5-6x)^4\cdot (-6)=-30 \cdot (5-6x)^4.$$

Пример 4: Найдите производную функции $y=\sqrt{4x+1}$.
Решение:
$$y'=\frac{1}{2\sqrt{4x+1}} \cdot 4=\frac{2}{\sqrt{4x+1}} .$$

Пример 5: Найдите производную функции $y=\cos(5x-9)$.
Решение:
$$y'=-\sin(5x-9) \cdot 5=-5 \sin(5x-9).$$

Дополнительные статьи:

• Производная сложной функции: решение задач с показательными и логарифмическими функциями;
• Производная сложной функции: решение задач с таблицами;
• Производная сложной функции: дополнительные задачи
.