Частные производные

Пусть $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$ — действительная функция переменных $x_1,x_2,...,x_n$ определенная в некотороей окрестности точки $(x_1,x_2,...,x_n)$. Частная производная (первого порядка) функции $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$ по $x_1$ в точке $(x_1,x_2,...,x_n)$ является пределом:
$$\lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{f(x_1+\Delta x_1,x_2,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{\Delta x_1}=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}f$$
Для функции $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$, для которой в каждой точке $(x_1,x_2,...,x_n)$ существует такой предел, производная $\frac{\partial y}{\partial x_1}$ является мерой скорости изменения $y$ относительно $x_1$ при фиксированных значениях остальных независимых переменных. Частные производные $\frac{\partial y}{\partial x_2}$, $\frac{\partial y}{\partial x_3}$, ..., $\frac{\partial y}{\partial x_n}$ определяются аналогично. Все частные производные $\frac{\partial y}{\partial x_k}$ могут быть найдены путем дифференцирования функции $f(x_1,x_2,...,x_n)$ по $x_k$, если остальные независимые переменные рассматривать как постоянные.

---

Частные производные более высокого порядка функции $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$ определяются формулами (если соответствующие пределы существуют):
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2_k}=f''_{x_k x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_k},$$ $$\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=f''_{x_i x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_i},$$
$$\frac{\partial^3 y}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}=f'''_{x_i x_j x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_j}.$$
И так далее. Число произведенных дифференцирований равен порядку соответствующей частной производной.

---

Если говорить о очередности дифференцирования, то:
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \partial x_i},$$
если обе производные существуют в некоторой окрестности точки $(x_1,x_2,...,x_n)$ и непрерывны в точке $(x_1,x_2,...,x_n)$.