Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Частные производные

Пусть y=f(x1,x2,...,xn) — действительная функция переменных x1,x2,...,xn определенная в некотороей окрестности точки (x1,x2,...,xn). Частная производная (первого порядка) функции y=f(x1,x2,...,xn) по x1 в точке (x1,x2,...,xn) является пределом:
limΔx10f(x1+Δx1,x2,...,xn)f(x1,x2,...,xn)Δx1=yx1=x1f
Для функции y=f(x1,x2,...,xn), для которой в каждой точке (x1,x2,...,xn) существует такой предел, производная yx1 является мерой скорости изменения y относительно x1 при фиксированных значениях остальных независимых переменных. Частные производные yx2, yx3, ..., yxn определяются аналогично. Все частные производные yxk могут быть найдены путем дифференцирования функции f(x1,x2,...,xn) по xk, если остальные независимые переменные рассматривать как постоянные.



Частные производные более высокого порядка функции y=f(x1,x2,...,xn) определяются формулами (если соответствующие пределы существуют):
2yx2k=fxkxk\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=f''_{x_i x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_i},
\frac{\partial^3 y}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}=f'''_{x_i x_j x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_j}.
И так далее. Число произведенных дифференцирований равен порядку соответствующей частной производной.



Если говорить о очередности дифференцирования, то:
\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \partial x_i},
если обе производные существуют в некоторой окрестности точки (x_1,x_2,...,x_n) и непрерывны в точке (x_1,x_2,...,x_n).

Комментариев нет:

Отправить комментарий