Частные производные

Пусть \(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\) — действительная функция переменных \(x_1,x_2,...,x_n\) определенная в некотороей окрестности точки \((x_1,x_2,...,x_n)\). Частная производная (первого порядка) функции \(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\) по \(x_1\) в точке \((x_1,x_2,...,x_n)\) является пределом:
\[\lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{f(x_1+\Delta x_1,x_2,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{\Delta x_1}=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}f\]
Для функции \(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\), для которой в каждой точке \((x_1,x_2,...,x_n)\) существует такой предел, производная \(\frac{\partial y}{\partial x_1}\) является мерой скорости изменения \(y\) относительно \(x_1\) при фиксированных значениях остальных независимых переменных. Частные производные \(\frac{\partial y}{\partial x_2}\), \(\frac{\partial y}{\partial x_3}\), ..., \(\frac{\partial y}{\partial x_n}\) определяются аналогично. Все частные производные \(\frac{\partial y}{\partial x_k}\) могут быть найдены путем дифференцирования функции \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) по \(x_k\), если остальные независимые переменные рассматривать как постоянные.

---

Частные производные более высокого порядка функции \(y=f(x_1,x_2,...,x_n)\) определяются формулами (если соответствующие пределы существуют):
\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2_k}=f''_{x_k x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_k}, \]\[\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=f''_{x_i x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_i},\]
\[\frac{\partial^3 y}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}=f'''_{x_i x_j x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_j}.\]
И так далее. Число произведенных дифференцирований равен порядку соответствующей частной производной.

---

Если говорить о очередности дифференцирования, то:
\[\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \partial x_i},\]
если обе производные существуют в некоторой окрестности точки \((x_1,x_2,...,x_n)\) и непрерывны в точке \((x_1,x_2,...,x_n)\).