Пусть y=f(x1,x2,...,xn) — действительная функция переменных x1,x2,...,xn определенная в некотороей окрестности точки (x1,x2,...,xn). Частная производная (первого порядка) функции y=f(x1,x2,...,xn) по x1 в точке (x1,x2,...,xn) является пределом:
limΔx1→0f(x1+Δx1,x2,...,xn)−f(x1,x2,...,xn)Δx1=∂y∂x1=∂∂x1f
Для функции y=f(x1,x2,...,xn), для которой в каждой точке (x1,x2,...,xn) существует такой предел, производная ∂y∂x1 является мерой скорости изменения y относительно x1 при фиксированных значениях остальных независимых переменных. Частные производные ∂y∂x2, ∂y∂x3, ..., ∂y∂xn определяются аналогично. Все частные производные ∂y∂xk могут быть найдены путем дифференцирования функции f(x1,x2,...,xn) по xk, если остальные независимые переменные рассматривать как постоянные.
Частные производные более высокого порядка функции y=f(x1,x2,...,xn) определяются формулами (если соответствующие пределы существуют):
∂2y∂x2k=fxkxk″\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=f''_{x_i x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial y}{\partial x_i},
\frac{\partial^3 y}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}=f'''_{x_i x_j x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_j}.
И так далее. Число произведенных дифференцирований равен порядку соответствующей частной производной.
Если говорить о очередности дифференцирования, то:
\frac{\partial^2 y}{\partial x_i \partial x_k}=\frac{\partial^2 y}{\partial x_k \partial x_i},
если обе производные существуют в некоторой окрестности точки (x_1,x_2,...,x_n) и непрерывны в точке (x_1,x_2,...,x_n).
Комментариев нет:
Отправить комментарий