Производная функции, заданной неявно

Если функция задана уравнением \(y=f(x)\), разрешенным относительно \(y\), то функция является заданной в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения \(F(x,y)=0\), не разрешенного относительно \(y\).
Любую явно заданную функцию \(y=f(x)\) можно записать как неявно заданную уравнением \(f(x)-y=0\), но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно, разрешить уравнение относительно \(y\) (например, \(2^y-y^x+y=0\)).

Общая формула для производной функции заданной неявно

Если функция \(y(x)\) задана неявно в форме \(F(x,y)=0\), и \(F'_y\neq 0\), то
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}=-\frac{F'_x}{F'_y}.\]
Формула выше является результатом применения правила дифференцирования сложной функции к неявной форме \(F(x,y)=0\):
\[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,\]
получаем:
\[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0.\]
Решая данное уравнение относительно \(dy/dx\) мы получим исходную формулу.

Неявное дифференцирование

Под неявным дифференцированием понимается прямое дифференцирование уравнения \(F(x,y)=0\) по \(x\), рассматривая при этом \(y\) как функцию от \(x\). После чего остается только разрешить результат относительно \(y'\).

Пример 1: Найти производную функции \(y\), заданную уравнением \(x^3+y^3-3xy=0\).
Решение: Функция \(y\) задана неявно. Дифференцируем по \(x\) равенство \(x^3+y^3-3xy=0\):
\[3x^2+3y^2y'-3y-3xy'=0\]
Найдем \(y'\):
\[y^2y'-xy'=y-x^2, \Rightarrow y'=\frac{y-x^2}{y^2-x}.\]

Пример 2: Найти производную функции \(y\), заданную уравнением \(y^2 = 2px\), где \(p\) - параметр.
Решение: Функция \(y\) задана неявно. Дифференцируем по \(x\) равенство \(y^2 = 2px\):
\[2yy'=2p\]
Найдем \(y'\):
\[y'=\frac{p}{y}.\]

Пример 3: Найти производную функции \(y\), заданную уравнением \(y = \cos ( x + y)\).
Решение: Функция \(y\) задана неявно. Дифференцируем по \(x\) равенство \(y = \cos ( x + y)\):
\[y'=-\sin(x+y)(1+y')\]
Найдем \(y'\):
\[y’ = – \sin (x + y)- y’\sin (x + y),\Rightarrow y’( 1 + \sin (x + y))= – \sin (x + y),\]
Получаем:
\[y’=- \frac{ \sin (x + y)}{ 1 + \sin (x + y)}.\]

Пример 4: Найти уравнение касательной к кривой \(x^4+y^4=2\) в точке \((1,1)\).
Решение: Дифференцируем по \(x\) равенство \(x^4+y^4=2\):
\[4x^3+4y^3y'=0, \Rightarrow x^3+y^3y'=0, \Rightarrow y'=-\frac{x^3}{y^3}.\]
В точке \((1,1)\): \(y'(1)=-1\). Подставим полученные данные в уравнение касательной \(y-y_0=y'_0(x-x_0)\):
\[y-1=-1(x-1), \Rightarrow y=2-x.\]