Производная функции, заданной неявно

Если функция задана уравнением $y=f(x)$, разрешенным относительно $y$, то функция является заданной в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения $F(x,y)=0$, не разрешенного относительно $y$.
Любую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать как неявно заданную уравнением $f(x)-y=0$, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно, разрешить уравнение относительно $y$ (например, $2^y-y^x+y=0$).

Общая формула для производной функции заданной неявно

Если функция $y(x)$ задана неявно в форме $F(x,y)=0$, и $F'_y\neq 0$, то
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}=-\frac{F'_x}{F'_y}.$$
Формула выше является результатом применения правила дифференцирования сложной функции к неявной форме $F(x,y)=0$:
$$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,$$
получаем:
$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0.$$
Решая данное уравнение относительно $dy/dx$ мы получим исходную формулу.

Неявное дифференцирование

Под неявным дифференцированием понимается прямое дифференцирование уравнения $F(x,y)=0$ по $x$, рассматривая при этом $y$ как функцию от $x$. После чего остается только разрешить результат относительно $y'$.

Пример 1: Найти производную функции $y$, заданную уравнением $x^3+y^3-3xy=0$.
Решение: Функция $y$ задана неявно. Дифференцируем по $x$ равенство $x^3+y^3-3xy=0$:
$$3x^2+3y^2y'-3y-3xy'=0$$
Найдем $y'$:
$$y^2y'-xy'=y-x^2, \Rightarrow y'=\frac{y-x^2}{y^2-x}.$$

Пример 2: Найти производную функции $y$, заданную уравнением $y^2 = 2px$, где $p$ - параметр.
Решение: Функция $y$ задана неявно. Дифференцируем по $x$ равенство $y^2 = 2px$:
$$2yy'=2p$$
Найдем $y'$:
$$y'=\frac{p}{y}.$$

Пример 3: Найти производную функции $y$, заданную уравнением $y = \cos ( x + y)$.
Решение: Функция $y$ задана неявно. Дифференцируем по $x$ равенство $y = \cos ( x + y)$:
$$y'=-\sin(x+y)(1+y')$$
Найдем $y'$:
$$y’ = – \sin (x + y)- y’\sin (x + y),\Rightarrow y’( 1 + \sin (x + y))= – \sin (x + y),$$
Получаем:
$$y’=- \frac{ \sin (x + y)}{ 1 + \sin (x + y)}.$$

Пример 4: Найти уравнение касательной к кривой $x^4+y^4=2$ в точке $(1,1)$.
Решение: Дифференцируем по $x$ равенство $x^4+y^4=2$:
$$4x^3+4y^3y'=0, \Rightarrow x^3+y^3y'=0, \Rightarrow y'=-\frac{x^3}{y^3}.$$
В точке $(1,1)$: $y'(1)=-1$. Подставим полученные данные в уравнение касательной $y-y_0=y'_0(x-x_0)$:
$$y-1=-1(x-1), \Rightarrow y=2-x.$$