Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции $f(x)$. Очевидно, что $\Delta y/\Delta x=PN/MP=tg\beta$, то есть, это отношение равно угловому коэффициенту секущей $m$.

Если $\Delta x \to 0$, то секущая, поворачиваясь вокруг точки $M$, в пределе переходит в касательную $l$, так как касательная является предельным положением секущей, когда точки сливаются. Таким образом:
$$y'_0=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim tg \beta=tg \alpha,$$
где $y'_0=f'(x_0)$. То есть геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Исходя из формулы выше, легко получить уравнение касательной $l$:
$$y-y_0=y'_0(x-x_0),$$
где $x_0, y_0$ - координаты точки касания, а $x, y$ - текущие координаты точки касательной прямой. Аналогично можно получить уравнение нормали к кривой, то есть перпендикуляра к касательной в точке касания:
$$y-y_0=-\frac{1}{y'_0}(x-x_0),$$