Если \(\Delta x \to 0\), то секущая, поворачиваясь вокруг точки \(M\), в пределе переходит в касательную \(l\), так как касательная является предельным положением секущей, когда точки сливаются. Таким образом:
\[y'_0=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim tg \beta=tg \alpha,\]
где \(y'_0=f'(x_0)\). То есть геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Исходя из формулы выше, легко получить уравнение касательной \(l\):
\[y-y_0=y'_0(x-x_0),\]
где \(x_0, y_0\) - координаты точки касания, а \(x, y\) - текущие координаты точки касательной прямой. Аналогично можно получить уравнение нормали к кривой, то есть перпендикуляра к касательной в точке касания:
\[y-y_0=-\frac{1}{y'_0}(x-x_0),\]