Производная обратной функции

Если функция \(y(x)\) на некотором интервале \(a \le x \le b\) строго монотонна и непрерывна, то на замкнутом интервале с концами \(y(a)\) и \(y(b)\) она имеет обратную функцию \(x(y)\), также непрерывную.

Если функция \(y=y(x)\) имеет обратную функцию \(x=x(y)\) и если функция \(y(x)\) в точке \(x_0\), где \(a \lt x_0 \lt b\), имеет производную \(y'(x_0)\neq 0 \), то функция \(x(y)\) в соответствующей точке \(y_0 = y (x_0)\) также имеет производную:
\[\frac{dx}{dy}=x'_y=\frac{1}{y'_x}.\]
Если к тому же функция \(y(x)\) имеет вторую производную, то:
\[x''_y=-\frac{y''_x}{(y'_x)^3}.\]

---

Равенство \(x'_y=\frac{1}{y'_x}\) легко проверить, если рассмотреть приращения \(\Delta y\) и \(\Delta x\):
\[\frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}.\]
Так как \(y(x)\) монотонна и непрерывна, то \(\Delta y \to 0\) если \(\Delta x \to 0\). И перейдя к пределу, в правой части мы получим:
\[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}=\frac{1}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}= \frac{1}{y'(x) }\]
Соответственно, в левой части получим:
\[\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} =x'(y).\]

---

В некоторых случаях производная обратной функции может быть полезной для нахождения производных сложных функций.

Пример 1: Найти производную функции \(y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}\).
Решение: Найдем обратную функцию: \(y = \sqrt[\large n]{x} \Rightarrow x = {y^n}\), где \(x\gt 0\).
Производная обратной функции: \(x'_y=ny^{n–1}\).
Тогда производная функции \(y\):
\[y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{ny^{n–1}} \]
Подставим в полученное выражение \(y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}\):
\[y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{ny^{n–1}} =\frac{1}{{n{{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)}^{n – 1}}}}= \frac{1}{{n\sqrt[\large n\normalsize]{{{x^{n – 1}}}}}}.\]


Пример 2: Найти производную функции \(y = \arcsin x\).
Решение: Найдем обратную функцию: \({y = \arcsin x}\Rightarrow
{x = \sin y}\), где \(-1\lt x\lt 1\).
Производная обратной функции: \(x'_y=\cos y\).
Тогда производная функции \(y\):
\[y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{\cos y} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Пример 3: Найти производную функции \(y = \ln x\).
Решение: Найдем обратную функцию: \({y = \ln x}\Rightarrow
{x = e^y}\), где \(x\gt 0\).
Производная обратной функции: \(x'_y=e^y\).
Тогда производная функции \(y\):
\[y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{e^y} =\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}. \]

Пример 4: Найти производную функции \(y=\sqrt[3]{x-1}\).
Решение: Обратная функция \(x=y^3+1\) имеет производную \(x'_y=3y^2\). Тогда производная функции \(y\):
\[y'_x=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}, (x\neq 1).\]