Производная обратной функции

Если функция $y(x)$ на некотором интервале $a \le x \le b$ строго монотонна и непрерывна, то на замкнутом интервале с концами $y(a)$ и $y(b)$ она имеет обратную функцию $x(y)$, также непрерывную.

Если функция $y=y(x)$ имеет обратную функцию $x=x(y)$ и если функция $y(x)$ в точке $x_0$, где $a \lt x_0 \lt b$, имеет производную $y'(x_0)\neq 0$, то функция $x(y)$ в соответствующей точке $y_0 = y (x_0)$ также имеет производную:
$$\frac{dx}{dy}=x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$
Если к тому же функция $y(x)$ имеет вторую производную, то:
$$x''_y=-\frac{y''_x}{(y'_x)^3}.$$

---

Равенство $x'_y=\frac{1}{y'_x}$ легко проверить, если рассмотреть приращения $\Delta y$ и $\Delta x$:
$$\frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}.$$
Так как $y(x)$ монотонна и непрерывна, то $\Delta y \to 0$ если $\Delta x \to 0$. И перейдя к пределу, в правой части мы получим:
$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}=\frac{1}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}= \frac{1}{y'(x) }$$
Соответственно, в левой части получим:
$$\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} =x'(y).$$

---

В некоторых случаях производная обратной функции может быть полезной для нахождения производных сложных функций.

Пример 1: Найти производную функции $y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}$.
Решение: Найдем обратную функцию: $y = \sqrt[\large n]{x} \Rightarrow x = {y^n}$, где $x\gt 0$.
Производная обратной функции: $x'_y=ny^{n–1}$.
Тогда производная функции $y$:
$$y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{ny^{n–1}}$$
Подставим в полученное выражение $y = \sqrt[\large n\normalsize]{x}$:
$$y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{ny^{n–1}} =\frac{1}{{n{{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)}^{n – 1}}}}= \frac{1}{{n\sqrt[\large n\normalsize]{{{x^{n – 1}}}}}}.$$


Пример 2: Найти производную функции $y = \arcsin x$.
Решение: Найдем обратную функцию: ${y = \arcsin x}\Rightarrow {x = \sin y}$, где $-1\lt x\lt 1$.
Производная обратной функции: $x'_y=\cos y$.
Тогда производная функции $y$:
$$y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{\cos y} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Пример 3: Найти производную функции $y = \ln x$.
Решение: Найдем обратную функцию: ${y = \ln x}\Rightarrow {x = e^y}$, где $x\gt 0$.
Производная обратной функции: $x'_y=e^y$.
Тогда производная функции $y$:
$$y'_x=\frac{1}{x'_y}= \frac{1}{e^y} =\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.$$

Пример 4: Найти производную функции $y=\sqrt[3]{x-1}$.
Решение: Обратная функция $x=y^3+1$ имеет производную $x'_y=3y^2$. Тогда производная функции $y$:
$$y'_x=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}, (x\neq 1).$$