Рассмотрим, например, понятие мгновенной скорости прямолинейного движения точки. Пусть точка движется по оси \(s\) слева направо, причем неравномерно, с переменной скоростью. Тогда закон движения математически выражается зависимостью координаты \(s\) от времени: \(s=f(t)\). Так как скорость переменная, то отношение пройденного пути к истекшему времени дает только среднюю скорость.
Что же касается мгновенной скорости (скорости в данный момент времени), то она получается следующим образом. Пусть в некоторый момент \(t\) движущаяся точка занимает положение \(A\), а через время \(\Delta t\) перейдет в положение \(B\), пройдя путь \(\Delta s\). Таким образом, \(s=f(t), s+\Delta s =f(t+\Delta t) .\)
Получаем: \(\Delta s=f(t+\Delta t)—f(t).\)
Тогда отношение \(v_{ср}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) (пройденный путь, отнесенный к единице истекшего времени) дает среднюю скорость движения за промежуток времени от \(t\) до \(t+\Delta t.\)
Мгновенная же скорость движения в момент \(t\) получается как предел средней скорости в процессе бесконечного уменьшения промежутка времени \(\Delta t\):
\[v_{мгн}=\lim_{\Delta t \to 0}v_{ср}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\]
Можно сказать, что мгновенная скорость — это средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени (за «элемент» времени), или что мгновенная скорость — это отношение бесконечно малого пути к соответствующему бесконечно малому промежутку времени (то есть бесконечно малый путь, отнесенный к единице истекшего времени).
Скорость процесса не всегда измеряется пройденным путем, отнесенным к единице истекшего времени. В качестве еще одного примера рассмотрим процесс наполнения сосуда. В данном случае законом наполнения служит зависимость \(V=f(t)\) наполнения объема от времени. Средней скоростью наполнения за промежуток времени от \(t\) до \(t+\Delta t\) служит величина
\[w_{ср}=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t},\]
тогда мгновенной скоростью наполнения в момент \(t\) будет являться величина
\[w_{мгн}=\lim_{\Delta t \to 0}w_{ср}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.\]
Как видим, получаются вычисления аналогичные предыдущему примеру.
Скорость можно понимать в еще более широком плане, относя изменение некоторой величины не к единице времени, а к единице какой-либо другой величины. Рассмотрим, например, понятие линейной плотности материальной линии, то есть тела, размеры которого учитываются лишь в одном протяжении (поперечным сечением тела мы пренебрегаем, но массой не пренебрегаем). Если эта линия (нить) однородная, то линейная плотность измеряется отношением массы нити к ее длине. Если же нить неоднородная, то ее линейная плотность в разных точках различная.
Будем отсчитывать расстояние от одного из концов нити, и пусть масса нити, отвечающая пройденному пути \(s\), равна \(M=f(s)\). Если пройден дополнительный путь \(\Delta s\), то отношение
\[\rho_{ср}=\frac{\Delta M}{\Delta s}=\frac{f(s+\Delta s)-f(s)}{\Delta s}\]
представляет собой среднюю плотность нити на участке \(AB\). Соответственно предел
\[\rho=\lim_{\Delta s \to 0}\rho_{ср}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta M}{\Delta s}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac{f(s+\Delta s)-f(s)}{\Delta s}\]
представляет собой линейную плотность нити в точке \(A\). Можно сказать что это скорость изменения массы нити, отнесенная к единице пройденного пути.
Все эти выражения с математической точки зрения имеют одинаковую структуру и дают основания для определения производной.