Рассмотрим, например, понятие мгновенной скорости прямолинейного движения точки. Пусть точка движется по оси s слева направо, причем неравномерно, с переменной скоростью. Тогда закон движения математически выражается зависимостью координаты s от времени: s=f(t). Так как скорость переменная, то отношение пройденного пути к истекшему времени дает только среднюю скорость.
Что же касается мгновенной скорости (скорости в данный момент времени), то она получается следующим образом. Пусть в некоторый момент t движущаяся точка занимает положение A, а через время Δt перейдет в положение B, пройдя путь Δs. Таким образом, s=f(t),s+Δs=f(t+Δt).
Получаем: \Delta s=f(t+\Delta t)—f(t).
Тогда отношение v_{ср}=\frac{\Delta s}{\Delta t} (пройденный путь, отнесенный к единице истекшего времени) дает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до t+\Delta t.
Мгновенная же скорость движения в момент t получается как предел средней скорости в процессе бесконечного уменьшения промежутка времени \Delta t:
v_{мгн}=\lim_{\Delta t \to 0}v_{ср}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}
Можно сказать, что мгновенная скорость — это средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени (за «элемент» времени), или что мгновенная скорость — это отношение бесконечно малого пути к соответствующему бесконечно малому промежутку времени (то есть бесконечно малый путь, отнесенный к единице истекшего времени).
Скорость процесса не всегда измеряется пройденным путем, отнесенным к единице истекшего времени. В качестве еще одного примера рассмотрим процесс наполнения сосуда. В данном случае законом наполнения служит зависимость V=f(t) наполнения объема от времени. Средней скоростью наполнения за промежуток времени от t до t+\Delta t служит величина
w_{ср}=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t},
тогда мгновенной скоростью наполнения в момент t будет являться величина
w_{мгн}=\lim_{\Delta t \to 0}w_{ср}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.
Как видим, получаются вычисления аналогичные предыдущему примеру.
Скорость можно понимать в еще более широком плане, относя изменение некоторой величины не к единице времени, а к единице какой-либо другой величины. Рассмотрим, например, понятие линейной плотности материальной линии, то есть тела, размеры которого учитываются лишь в одном протяжении (поперечным сечением тела мы пренебрегаем, но массой не пренебрегаем). Если эта линия (нить) однородная, то линейная плотность измеряется отношением массы нити к ее длине. Если же нить неоднородная, то ее линейная плотность в разных точках различная.
Будем отсчитывать расстояние от одного из концов нити, и пусть масса нити, отвечающая пройденному пути s, равна M=f(s). Если пройден дополнительный путь \Delta s, то отношение
\rho_{ср}=\frac{\Delta M}{\Delta s}=\frac{f(s+\Delta s)-f(s)}{\Delta s}
представляет собой среднюю плотность нити на участке AB. Соответственно предел
\rho=\lim_{\Delta s \to 0}\rho_{ср}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta M}{\Delta s}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac{f(s+\Delta s)-f(s)}{\Delta s}
представляет собой линейную плотность нити в точке A. Можно сказать что это скорость изменения массы нити, отнесенная к единице пройденного пути.
Все эти выражения с математической точки зрения имеют одинаковую структуру и дают основания для определения производной.