Определение производной
Пусть \(y=f(x)\) - действительная функция действительного переменного \(x\), определенная в некоторой окрестности точки \(x\). Производная (первая производная или производная первого порядка) функции \(f(x) \) по \(x\) в точке \(x\) является пределом:
\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)=y'\]
В каждой точке \(x\), в которой предел существует, производная \(dy/dx=f'(x)\) является мерой скорости измерения \(y\) относительно \(x\).
Производная \(f'(x)\) есть угловой коэффициент касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x\).
Соответствующие односторонние пределы называются левой производной \(f'_-(x)\) и правой производной \(f'_+(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x\).
Операция вычисления производной \(f'(x)\) функции \(f(x)\) называется дифференцированием функции \(f(x)\) по \(x\). Функция \(f(x)\) дифференцируема на том множестве значений \(x\), на котором существует производная \(f'(x)\). Функция \(f(x)\) непрерывно дифференцируема, если производная существует и непрерывна. Функция \(f(x)\) называется кусочно-гладкой на некотором промежутке, если функция \(f(x)\) непрерывна на этом промежутке, а ее производная \(f'(x)\) кусочно-непрерывна этом же промежутке. Дифференцируемая функция непрерывна.