Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция \(y(x)\) задана параметрически в виде двух уравнений
\[\left\{
\begin{aligned}
x= x( t) \\
y= y( t)
\end{aligned}
\right.,
\]
где \(t\) - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную \(y'_x\), считая что функции \(x= x(t)\) и \(y= y(t)\) имеют производные и что функция \(x= x(t)\) имеет обратную функцию \(t=\varphi(x)\).
По правилу дифференцирования обратной функции получаем:
\[t'_x=\frac{1}{x'_t}.\]
Зависимость \(y=y(x)\) можно рассматривать как сложную функцию \(y=y(t)\), где \(t=\varphi(x)\).
По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
\[y'_x=y'_t \cdot t'_x=y'_t \cdot \frac{1}{x'_t}=\frac{y'_t }{x'_t}.\]
Полученная формула позволяет находить производную \(y'_x\) для функции заданной параметрически, не находя непосредственную зависимость \(y\) от \(x\).

---

Пример 1: Пусть \(x=t^3\), \(y=t^2\). Найти \(y'_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=3t^2\), \(y'_t=2t\).
Получаем:
\[y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{2t }{3t^2}=\frac{2 }{3t}.\]
Результат можно проверить, найдя непосредственную зависимость \(y\) от \(x\). Так как \(x=t^3\), то \(t=\sqrt[3]{x} \). Тогда \(y=(\sqrt[3]{x})^2\). Получаем:
\[y'_x=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{2 }{3t}.\]
Пример 2: Пусть \(x=2t+1\), \(y=4t-3\). Найти \(y'_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=2\), \(y'_t=4\).
Получаем:
\[y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{4}{2}=2.\]
Пример 3: Пусть \(x=e^{2t}\), \(y=e^{3t}\). Найти \(y'_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=2e^{2t}\), \(y'_t=3e^{3t}\).
Получаем:
\[y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{3e^{3t}}{2e^{2t}}=\frac{3}{2}e^t.\]