Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция $y(x)$ задана параметрически в виде двух уравнений
$$\left\{ \begin{aligned} x= x( t) \\ y= y( t) \end{aligned} \right.,$$
где $t$ - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную $y'_x$, считая что функции $x= x(t)$ и $y= y(t)$ имеют производные и что функция $x= x(t)$ имеет обратную функцию $t=\varphi(x)$.
По правилу дифференцирования обратной функции получаем:
$$t'_x=\frac{1}{x'_t}.$$
Зависимость $y=y(x)$ можно рассматривать как сложную функцию $y=y(t)$, где $t=\varphi(x)$.
По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
$$y'_x=y'_t \cdot t'_x=y'_t \cdot \frac{1}{x'_t}=\frac{y'_t }{x'_t}.$$
Полученная формула позволяет находить производную $y'_x$ для функции заданной параметрически, не находя непосредственную зависимость $y$ от $x$.

---

Пример 1: Пусть $x=t^3$, $y=t^2$. Найти $y'_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=3t^2$, $y'_t=2t$.
Получаем:
$$y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{2t }{3t^2}=\frac{2 }{3t}.$$
Результат можно проверить, найдя непосредственную зависимость $y$ от $x$. Так как $x=t^3$, то $t=\sqrt[3]{x}$. Тогда $y=(\sqrt[3]{x})^2$. Получаем:
$$y'_x=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{2 }{3t}.$$
Пример 2: Пусть $x=2t+1$, $y=4t-3$. Найти $y'_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=2$, $y'_t=4$.
Получаем:
$$y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{4}{2}=2.$$
Пример 3: Пусть $x=e^{2t}$, $y=e^{3t}$. Найти $y'_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=2e^{2t}$, $y'_t=3e^{3t}$.
Получаем:
$$y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}=\frac{3e^{3t}}{2e^{2t}}=\frac{3}{2}e^t.$$