Наибольшее и наименьшее значение производной

Подобные задачи относятся к вопросам исследования функции и графиков, в том числе задач, когда функция не указана явно, а задан только график функции.
Для решения таких задач нужно знать следующее:

• Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке. Угловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.
• Производная — это скорость изменения функции. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение. На интервалах убывания функции производная имеет отрицательное значение.
• Если функция имеет в точке локального экстремума производную, то эта производная равна нулю.

Рассмотрим график некоторой функции (в данном случае $y=x \cos(x)$). Требуется определить, в каких точка производная функции принимает свои наименьшие и наибольшие значения:

Точки $B, D, F, G, I, K$ являются локальными экстремумами. Касательная в этих точка параллельна оси $x$, соответственно производная в этих точках равна нулю.
В точках $A, E, H$ функция возрастает, следовательно производная в этих точках положительна.
В точках $C, J$ функция убывает, следовательно производная в этих точках отрицательна.

Получаем наибольшее значение производная функции принимает в одной из точек $A, E, H$. Наименьшее значение производная функции принимает в одной из точек $C, J$.
Чтобы выбрать точку с наибольшей (наименьшей) производной, необходимо провести касательные к графику в точках и выбрать те точки, в которых касательная "вертикальнее".

Получаем, в данном случае, наименьшее значение производной в точке $J$, наибольшее значение в точке $H$. Если заданы две точки на одном интервале возрастания (убывания), то наибольшее (наименьшее) значение будет в точке находящейся ближе к точке перегиба.

Чтобы убедиться в наших результатах, посмотрим на совмещенный график функции и производной функции:

Как видим, все наши рассуждения верны.

В случае если функция задана в явном виде, то задачу можно свести к нахождению производной и стандартному алгоритму исследования функции.