Вторая производная функции, заданной параметрически

Пусть функция $y(x)$ задана параметрически в виде двух уравнений
$$\left\{ \begin{aligned} x= x( t) \\ y= y( t) \end{aligned} \right.,$$
где $t$ - вспомогательная переменная, называемая параметром.
Первая производная:
$$y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}.$$
Вторая производная:
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\dfrac{\dfrac{dx}{dt}\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{d^2x}{dt^2}\dfrac{dy}{dt}}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^3}.$$
Или в другой записи:
$$y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}.$$
Формулу второй производной легко проверить, продифференцировав первую производную:
$$y''_x=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{y'_t}{x'_t}\right)\frac{1}{x'_t}=\left[\frac{x'_t \cdot y''_t-y'_t \cdot x''_t}{(x'_t)^{2}}\right]\frac{1}{x'_t}=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}.$$

---

Пример 1: Пусть $x=3t$, $y=6t^3+18t$. Найти $y''_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=3$, $y'_t=18t^2+18$, $x''_t=0$, $y''_t=36t$.
$$y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{3 \cdot 36t -0 (18t^2+18)}{(3)^3}=4t.$$

Пример 2: Пусть $x=2^t$, $y=8^t$. Найти $y''_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=2^t\ln 2$, $y'_t=8^t \ln 8$, $x''_t=2^t\ln^2 2$, $y''_t=8^t \ln^2 8$.
Найдем производную $y$ по $x$, учитывая что $8^t=(2^t)^3$ и $\ln 8 =\ln(2^3)=3\ln2$:
$$y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{2^t \ln 2 \cdot 8^t \ln^2 8 -2^t \ln^2 2 \cdot 8^t \ln 8}{(2^t \ln 2)^3}=\\=\frac{(2^t)^4 \cdot \ln2 \cdot \ln8 \cdot (\ln 8 -\ln 2)}{(2^t \ln 2)^3}=\frac{(2^t)^4 \cdot \ln2 \cdot 3\ln2 \cdot (3\ln 2 -\ln 2)}{(2^t \ln 2)^3}=\\=\frac{(2^t)^4 \cdot 6\ln^32 }{(2^t \ln 2)^3}=6 \cdot 2^t.$$

Пример 3: Пусть $x=t^3+1$, $y=t^4-4$. Найти $y''_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$: $x'_t=3t^2$, $y'_t=4t^3$, $x''_t=6t$, $y''_t=12t^2$.
$$y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{3t^2 \cdot 12t^2 -6t \cdot 4t^3}{(3t^2)^3}=\frac{36t^4 -24t^4}{27t^6}=\frac{4}{9t^2}.$$

Пример 4: Пусть $x=8\sqrt{t}+1$, $y=-6\sqrt{t}+t$. Найти $y''_x$.
Решение: найдем производные $y$ и $x$ по $t$:
$$x'_t=\frac{4}{\sqrt{t}}, y'_t=-\frac{3}{\sqrt{t}}+1, x''_t=-\frac{2}{(\sqrt{t})^3}, y''_t=\frac{3}{2(\sqrt{t})^3}.$$
$$y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{\dfrac{4}{\sqrt{t}} \cdot \dfrac{3}{2(\sqrt{t})^3} +\dfrac{2}{(\sqrt{t})^3} \cdot \left(1-\dfrac{3}{\sqrt{t}}\right)}{\left(\dfrac{4}{\sqrt{t}}\right)^3}=\\=\frac{6}{4^3\sqrt{t}}+\frac{2}{4^3}\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{t}}\right)=\frac{2}{4^3}=\frac{1}{32}.$$