Вторая производная функции, заданной параметрически

Пусть функция \(y(x)\) задана параметрически в виде двух уравнений
\[\left\{
\begin{aligned}
x= x( t) \\
y= y( t)
\end{aligned}
\right.,
\]
где \(t\) - вспомогательная переменная, называемая параметром.
Первая производная:
\[y'_x=\frac{y'_t }{x'_t}.\]
Вторая производная:
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\dfrac{\dfrac{dx}{dt}\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{d^2x}{dt^2}\dfrac{dy}{dt}}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^3}.\]
Или в другой записи:
\[y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}.\]
Формулу второй производной легко проверить, продифференцировав первую производную:
\[y''_x=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{y'_t}{x'_t}\right)\frac{1}{x'_t}=\left[\frac{x'_t \cdot y''_t-y'_t \cdot x''_t}{(x'_t)^{2}}\right]\frac{1}{x'_t}=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}.\]

---

Пример 1: Пусть \(x=3t\), \(y=6t^3+18t\). Найти \(y''_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=3\), \(y'_t=18t^2+18\), \(x''_t=0\), \(y''_t=36t\).
\[y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{3 \cdot 36t -0 (18t^2+18)}{(3)^3}=4t.\]

Пример 2: Пусть \(x=2^t\), \(y=8^t\). Найти \(y''_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=2^t\ln 2\), \(y'_t=8^t \ln 8\), \(x''_t=2^t\ln^2 2\), \(y''_t=8^t \ln^2 8\).
Найдем производную \(y\) по \(x\), учитывая что \(8^t=(2^t)^3\) и \(\ln 8 =\ln(2^3)=3\ln2\):
\[y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{2^t \ln 2 \cdot 8^t \ln^2 8 -2^t \ln^2 2 \cdot 8^t \ln 8}{(2^t \ln 2)^3}=\\=\frac{(2^t)^4 \cdot \ln2 \cdot \ln8 \cdot (\ln 8 -\ln 2)}{(2^t \ln 2)^3}=\frac{(2^t)^4 \cdot \ln2 \cdot 3\ln2 \cdot (3\ln 2 -\ln 2)}{(2^t \ln 2)^3}=\\=\frac{(2^t)^4 \cdot 6\ln^32 }{(2^t \ln 2)^3}=6 \cdot 2^t.\]

Пример 3: Пусть \(x=t^3+1\), \(y=t^4-4\). Найти \(y''_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\): \(x'_t=3t^2\), \(y'_t=4t^3\), \(x''_t=6t\), \(y''_t=12t^2\).
\[y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{3t^2 \cdot 12t^2 -6t \cdot 4t^3}{(3t^2)^3}=\frac{36t^4 -24t^4}{27t^6}=\frac{4}{9t^2}.\]

Пример 4: Пусть \(x=8\sqrt{t}+1\), \(y=-6\sqrt{t}+t\). Найти \(y''_x\).
Решение: найдем производные \(y\) и \(x\) по \(t\):
\[x'_t=\frac{4}{\sqrt{t}}, y'_t=-\frac{3}{\sqrt{t}}+1, x''_t=-\frac{2}{(\sqrt{t})^3}, y''_t=\frac{3}{2(\sqrt{t})^3}.\]
\[y''_x=\frac{x'_t \cdot y''_t-x''_t \cdot y'_t}{(x'_t)^3}=\frac{\dfrac{4}{\sqrt{t}} \cdot \dfrac{3}{2(\sqrt{t})^3} +\dfrac{2}{(\sqrt{t})^3} \cdot \left(1-\dfrac{3}{\sqrt{t}}\right)}{\left(\dfrac{4}{\sqrt{t}}\right)^3}=\\=\frac{6}{4^3\sqrt{t}}+\frac{2}{4^3}\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{t}}\right)=\frac{2}{4^3}=\frac{1}{32}.\]