Производная модуля

Для начал вспомним что такое модуль (абсолютная величина) от \(x\). Модуль есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
\[\left\vert{x}\right\vert = \begin{cases}
x,& x \geqslant 0 \\
-x, & x \lt 0
\end{cases}.\]
Модуль можно определить через функцию корня:
\[\vert{x}\vert=\sqrt{x^2}.\]
Используя такое определение достаточно легко найти производную модуля (продифференцировав \(\sqrt{x^2}\) по \(x\), используя правило дифференцирования сложной функции):
\[\frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx}\sqrt{x^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{x}{|x|},\ где \ x\neq 0.\]

---

Или можно воспользоваться первым определением модуля и найти производную через ее определение.
\[|x|'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}.\]
Если \(x\gt 0\), то:
\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=1.\]
Если \(x\lt 0\), то:
\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-(x+\Delta x)-(-x)}{\Delta x}=-1.\]
Если x=0, то предел:
\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}\]
не существует, так как левый (-1) и правый (1) пределы не равны.

Получаем:
\[|x|'= \begin{cases}
1 & x > 0\\
-1 & x < 0. \end{cases}\]

---

Если рассматривать график модуля, то видно, что в точке \(x=0\) невозможно провести касательную, это и означает, что в точке \(x=0\) производная модуля не существует: