Производная модуля

Для начал вспомним что такое модуль (абсолютная величина) от $x$. Модуль есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
$$\left\vert{x}\right\vert = \begin{cases} x,& x \geqslant 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases}.$$
Модуль можно определить через функцию корня:
$$\vert{x}\vert=\sqrt{x^2}.$$
Используя такое определение достаточно легко найти производную модуля (продифференцировав $\sqrt{x^2}$ по $x$, используя правило дифференцирования сложной функции):
$$\frac{d}{dx} |x| = \frac{d}{dx}\sqrt{x^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}} = \frac{x}{|x|},\ где \ x\neq 0.$$

---

Или можно воспользоваться первым определением модуля и найти производную через ее определение.
$$|x|'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}.$$
Если $x\gt 0$, то:
$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=1.$$
Если $x\lt 0$, то:
$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-(x+\Delta x)-(-x)}{\Delta x}=-1.$$
Если x=0, то предел:
$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}$$
не существует, так как левый (-1) и правый (1) пределы не равны.

Получаем:
$$|x|'= \begin{cases} 1 & x > 0\\ -1 & x < 0. \end{cases}$$

---

Если рассматривать график модуля, то видно, что в точке $x=0$ невозможно провести касательную, это и означает, что в точке $x=0$ производная модуля не существует: