Дифференциал

Пусть функция \(y=f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x\) и пусть \(dx\) —приращение независимого переменного \(x\) (дифференциал независимого переменного \(x\)). Функция \(y=f(x)\) имеет в точке \(x\) (первый) дифференциал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
\[\Delta y= f(x + dx)-f(x) =A\thinspace dx+o(dx),\]
где \(A\) не зависит от \(dx\). В этом случае (первым) дифференциалом функции \(y = f(x)\) называется главная линейная часть приращения функции \(dy=A\thinspace dx\).

Функция \(y=f(x)\) имеет в точке \(x\) дифференциал в том и только в том случае, если она имеет в этой точке (первую) производную. Ее дифференциал равен \(dy=df=\frac{dy}{dx}dx = f' (x) dx\).

Тогда приращение функции можно представить в виде:
\[\Delta y= f(x + dx)-f(x) =f'(x)dx+o(dx)=dy+o(dx).\]

---

В случае функции нескольких переменных, подобным же образом получаем определение дифференциала. Пусть функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) переменных \(x_1,
x_2,..., x_n\) определена в некоторой окрестности точки \((x_1,
x_2,..., x_n)\) и пусть \(dx_1, dx_2,..., dx_n\) приращения независимых переменных (дифференциалы независимых переменных) \(x_1,
x_2,..., x_n\).
Функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) имеет в точке \((x_1,
x_2,..., x_n)\) (первый полный) дифференциал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
\[\Delta y=f(x_1 + dx_1, x_2 + dx_2, ..., x_n + dx_n)-f(x_1, x_2, ..., x_n)=\\
=A_1dx_1+A_2dx_2 + ... + A_ndx_n + o(\rho), \]
где \(\rho=\sqrt{dx^2_1+dx^2_2+...+dx^2_n}\) и \(A_1, A_2,...,A_n\) не зависят от \(dx_1, dx_2,..., dx_n\).
В этом случае (первым полным) дифференциалом функции \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) называется главная линейная часть приращения:
\[dy=A_1dx_1+A_2dx_2 + ... + A_ndx_n.\]

---

Если функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) имеет в точке \((x_1, x_2,..., x_n)\) дифференциал, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней все частные производные первого порядка.
Если функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) имеет в точке \((x_1, x_2,..., x_n)\) все непрерывные частные производные первого порядка, то она имеет в этой точке (первый) дифференциал.
Из одного факта существования всех частных производных еще не следует существования полного дифференциала.

Дифференциал функции \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) , если он существует, имеет вид
\[dy=df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n,\]
где производные берутся в рассматриваемой точке.

---

Функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) дифференцируема в точке \((x_1, x_2,..., x_n)\) , если она имеет в этой точке (первый) дифференциал. В этом случае
\[\Delta y=f(x_1 + dx_1, x_2 + dx_2, ..., x_n + dx_n)-f(x_1, x_2, ..., x_n)=\\
=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n + o(\rho)=dy+o(\rho). \]
Функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) дифференцируема на множестве точек, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) непрерывно дифференцируема на некотором множестве, если на этом множестве все частные производные \(\frac{\partial y}{\partial x_2}\), \(\frac{\partial y}{\partial x_3}\), ..., \(\frac{\partial y}{\partial x_n}\) существуют и непрерывны.
Функция \(y=f(x_1, x_2, ...,x_n)\) называется кусочно-гладкой в области \(V\), если она непрерывна в \(V\), а ее частные производные \(\frac{\partial y}{\partial x_2}\), \(\frac{\partial y}{\partial x_3}\), ..., \(\frac{\partial y}{\partial x_n}\) кусочно-непрерывны в \(V\).