Дифференциал

Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x$ и пусть $dx$ —приращение независимого переменного $x$ (дифференциал независимого переменного $x$). Функция $y=f(x)$ имеет в точке $x$ (первый) дифференциал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
$$\Delta y= f(x + dx)-f(x) =A\thinspace dx+o(dx),$$
где $A$ не зависит от $dx$. В этом случае (первым) дифференциалом функции $y = f(x)$ называется главная линейная часть приращения функции $dy=A\thinspace dx$.

Функция $y=f(x)$ имеет в точке $x$ дифференциал в том и только в том случае, если она имеет в этой точке (первую) производную. Ее дифференциал равен $dy=df=\frac{dy}{dx}dx = f' (x) dx$.

Тогда приращение функции можно представить в виде:
$$\Delta y= f(x + dx)-f(x) =f'(x)dx+o(dx)=dy+o(dx).$$

---

В случае функции нескольких переменных, подобным же образом получаем определение дифференциала. Пусть функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ переменных $x_1, x_2,..., x_n$ определена в некоторой окрестности точки $(x_1, x_2,..., x_n)$ и пусть $dx_1, dx_2,..., dx_n$ приращения независимых переменных (дифференциалы независимых переменных) $x_1, x_2,..., x_n$.
Функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ имеет в точке $(x_1, x_2,..., x_n)$ (первый полный) дифференциал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
$$\Delta y=f(x_1 + dx_1, x_2 + dx_2, ..., x_n + dx_n)-f(x_1, x_2, ..., x_n)=\\ =A_1dx_1+A_2dx_2 + ... + A_ndx_n + o(\rho),$$
где $\rho=\sqrt{dx^2_1+dx^2_2+...+dx^2_n}$ и $A_1, A_2,...,A_n$ не зависят от $dx_1, dx_2,..., dx_n$.
В этом случае (первым полным) дифференциалом функции $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ называется главная линейная часть приращения:
$$dy=A_1dx_1+A_2dx_2 + ... + A_ndx_n.$$

---

Если функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ имеет в точке $(x_1, x_2,..., x_n)$ дифференциал, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней все частные производные первого порядка.
Если функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ имеет в точке $(x_1, x_2,..., x_n)$ все непрерывные частные производные первого порядка, то она имеет в этой точке (первый) дифференциал.
Из одного факта существования всех частных производных еще не следует существования полного дифференциала.

Дифференциал функции $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ , если он существует, имеет вид
$$dy=df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n,$$
где производные берутся в рассматриваемой точке.

---

Функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ дифференцируема в точке $(x_1, x_2,..., x_n)$ , если она имеет в этой точке (первый) дифференциал. В этом случае
$$\Delta y=f(x_1 + dx_1, x_2 + dx_2, ..., x_n + dx_n)-f(x_1, x_2, ..., x_n)=\\ =\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n + o(\rho)=dy+o(\rho).$$
Функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ дифференцируема на множестве точек, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ непрерывно дифференцируема на некотором множестве, если на этом множестве все частные производные $\frac{\partial y}{\partial x_2}$, $\frac{\partial y}{\partial x_3}$, ..., $\frac{\partial y}{\partial x_n}$ существуют и непрерывны.
Функция $y=f(x_1, x_2, ...,x_n)$ называется кусочно-гладкой в области $V$, если она непрерывна в $V$, а ее частные производные $\frac{\partial y}{\partial x_2}$, $\frac{\partial y}{\partial x_3}$, ..., $\frac{\partial y}{\partial x_n}$ кусочно-непрерывны в $V$.