Производная сложной функции: решение задач с таблицами

В случае, если в задаче нахождения производной сложной функции в точке не задана сама производная, а заданы значения аргумента, внутренней и внешней функции и их производных, то нет необходимости находить зависимость производной от аргумента, нужно просто внимательно проследить вложенность функций и найти значение воспользовавшись таблицей.

Пример 1: Пусть даны значения $x$, функций $f(x)$, $h(x)$ и их производных в виде:

$$\begin{array}{c c c c c} x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\ \hline -1 & 9 & -1 & -5 & -6 \\ 2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\ \end{array}$$

И $y(x)=f(h(x))$. Найдите $y'(2)$.
Решение:
$y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)$, получаем $y'(2)=f'(h(2)) \cdot h'(2)=f'(-1) \cdot 6= -5\cdot 6=-30.$

Пример 2: Пусть даны значения $x$, функций $f(x)$, $g(x)$ и их производных в виде:

$$\begin{array}{c c c c c} x & f(x) & g(x) & f'(x) & g'(x) \\ \hline 0 & 0 & -3 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 0 & -4 & 1 \\ \end{array}$$

И $y(x)=f(g(x))$. Найдите $y'(3)$.
Решение:
$y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$, получаем $y'(3)=f'(g(3)) \cdot g'(3)=f'(0) \cdot 1= 2\cdot 1=2.$

Пример 3: Пусть даны значения $x$, функций $f(x)$, $h(x)$ и их производных в виде:

$$\begin{array}{c c c c c} x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\ \hline -3 & 6 & 5 & 7 & -8 \\ -1 & 8 & -1 & -3 & -4 \\ \end{array}$$

И $y(x)=f(h(x))$. Найдите $y'(-1)$.
Решение:
$y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)$, получаем:
$$y'(-1)=f'(h(-1)) \cdot h'(-1)=f'(-1) \cdot (-4)= (-3)\cdot (-4)=12.$$

Пример 4: Пусть даны значения $x$, функций $f(x)$, $h(x)$ и их производных в виде:

$$\begin{array}{c c c c c} x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\ \hline 1 & -3 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & 6 & 3 & 5 \\ \end{array}$$

И $y(x)=f(h(x))$. Найдите $y'(1)$.
Решение:
$y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)$, получаем:
$$y'(-1)=f'(h(1)) \cdot h'(1)=f'(2) \cdot 3= 3\cdot 3=9.$$

Пример 5: Пусть даны значения $x$, функций $g(x)$, $h(x)$ и их производных в виде:

$$\begin{array}{c c c c c} x & g(x) & h(x) & g'(x) & h'(x) \\ \hline 0 & 5 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 11 & 8 & 7 & 5 \\ \end{array}$$

И $y(x)=g(h(x))$. Найдите $y'(0)$.
Решение:
$y'=g'(h(x)) \cdot h'(x)$, получаем:
$$y'(0)=g'(h(0)) \cdot h'(0)=g'(2) \cdot 1= 7\cdot 1=7.$$