В случае, если в задаче нахождения производной сложной функции в точке не задана сама производная, а заданы значения аргумента, внутренней и внешней функции и их производных, то нет необходимости находить зависимость производной от аргумента, нужно просто внимательно проследить вложенность функций и найти значение воспользовавшись таблицей.
Пример 1: Пусть даны значения \(x\), функций \(f(x)\), \(h(x)\) и их производных в виде:
\begin{array}{c c c c c}
x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\
\hline
-1 & 9 & -1 & -5 & -6 \\
2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\
\end{array}
И \(y(x)=f(h(x))\). Найдите \(y'(2)\).
Решение:
\(y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)\), получаем \(y'(2)=f'(h(2)) \cdot h'(2)=f'(-1) \cdot 6= -5\cdot 6=-30.\)
Пример 2: Пусть даны значения \(x\), функций \(f(x)\), \(g(x)\) и их производных в виде:
\begin{array}{c c c c c}
x & f(x) & g(x) & f'(x) & g'(x) \\
\hline
0 & 0 & -3 & 2 & 1 \\
3 & -3 & 0 & -4 & 1 \\
\end{array}
И \(y(x)=f(g(x))\). Найдите \(y'(3)\).
Решение:
\(y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)\), получаем \(y'(3)=f'(g(3)) \cdot g'(3)=f'(0) \cdot 1= 2\cdot 1=2.\)
Пример 3: Пусть даны значения \(x\), функций \(f(x)\), \(h(x)\) и их производных в виде:
\begin{array}{c c c c c}
x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\
\hline
-3 & 6 & 5 & 7 & -8 \\
-1 & 8 & -1 & -3 & -4 \\
\end{array}
И \(y(x)=f(h(x))\). Найдите \(y'(-1)\).
Решение:
\(y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)\), получаем:
\[y'(-1)=f'(h(-1)) \cdot h'(-1)=f'(-1) \cdot (-4)= (-3)\cdot (-4)=12.\]
Пример 4: Пусть даны значения \(x\), функций \(f(x)\), \(h(x)\) и их производных в виде:
\begin{array}{c c c c c}
x & f(x) & h(x) & f'(x) & h'(x) \\
\hline
1 & -3 & 2 & -1 & 3 \\
2 & -2 & 6 & 3 & 5 \\
\end{array}
И \(y(x)=f(h(x))\). Найдите \(y'(1)\).
Решение:
\(y'=f'(h(x)) \cdot h'(x)\), получаем:
\[y'(-1)=f'(h(1)) \cdot h'(1)=f'(2) \cdot 3= 3\cdot 3=9.\]
Пример 5: Пусть даны значения \(x\), функций \(g(x)\), \(h(x)\) и их производных в виде:
\begin{array}{c c c c c}
x & g(x) & h(x) & g'(x) & h'(x) \\
\hline
0 & 5 & 2 & -1 & 1 \\
2 & 11 & 8 & 7 & 5 \\
\end{array}
И \(y(x)=g(h(x))\). Найдите \(y'(0)\).
Решение:
\(y'=g'(h(x)) \cdot h'(x)\), получаем:
\[y'(0)=g'(h(0)) \cdot h'(0)=g'(2) \cdot 1= 7\cdot 1=7.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий