Производная сложной функции: решение задач с показательными и логарифмическими функциями

При решении задач с показательными функциями нужно знать следующее:
1. $(e^x)'=e^x$
2. $(a^x)'=a^x \cdot \ln a$
Докажем второе утверждение. Представим $a$ в виде $a=e^{\ln a}$, тогда:
$$a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}.$$
Найдем производную:
$$(a^x)'=\bigl(e^{x\ln a}\bigr)'=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x \ln a.$$

При решении задач с логарифмическими функциями нужно знать следующее:
1. $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
2. $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
Докажем второе утверждение. Представим $\log_a x$ в виде:
$$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}.$$

Тогда:
$$(\log_a x)'=\Bigl(\frac{\ln x}{\ln a}\Bigr)'=\frac{1}{\ln a}(\ln x)' =\frac{1}{\ln a}\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}$$

Примеры решения

Пример 1: Найдите производную функции $y=7\cdot 10^x$.
Решение:
$$y'=7\cdot 10^x \cdot \ln 10.$$

Пример 2: Найдите производную функции $y=-8\log(x)$.
Решение: В данном случае это десятичный логарифм, то есть: $\log(x)=\log_{10}(x)$. Получаем:
$$y'=-8 \frac{1}{x\ln(10)}=-\frac{8}{x\ln10}.$$

Пример 3: Найдите производную функции $y=-2\log_7(x)$.
Решение:
$$y'=-2 \frac{1}{x\ln(7)}=-\frac{2}{x\ln7}.$$

Пример 4: Найдите производную функции $y=-4\cdot 3^x$.
Решение:
$$y'=-4 \cdot 3^x \cdot \ln 3.$$