Производная сложной функции: решение задач с показательными и логарифмическими функциями

При решении задач с показательными функциями нужно знать следующее:
1. \((e^x)'=e^x\)
2. \((a^x)'=a^x \cdot \ln a \)
Докажем второе утверждение. Представим \(a\) в виде \(a=e^{\ln a}\), тогда:
\[a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}.\]
Найдем производную:
\[(a^x)'=\bigl(e^{x\ln a}\bigr)'=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x \ln a.\]

При решении задач с логарифмическими функциями нужно знать следующее:
1. \((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
2. \((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} \)
Докажем второе утверждение. Представим \(\log_a x\) в виде:
\[\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}. \]

Тогда:
\[(\log_a x)'=\Bigl(\frac{\ln x}{\ln a}\Bigr)'=\frac{1}{\ln a}(\ln x)' =\frac{1}{\ln a}\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}\]

Примеры решения

Пример 1: Найдите производную функции \(y=7\cdot 10^x\).
Решение:
\[y'=7\cdot 10^x \cdot \ln 10.\]

Пример 2: Найдите производную функции \(y=-8\log(x)\).
Решение: В данном случае это десятичный логарифм, то есть: \(\log(x)=\log_{10}(x)\). Получаем:
\[y'=-8 \frac{1}{x\ln(10)}=-\frac{8}{x\ln10}.\]

Пример 3: Найдите производную функции \(y=-2\log_7(x)\).
Решение:
\[y'=-2 \frac{1}{x\ln(7)}=-\frac{2}{x\ln7}.\]

Пример 4: Найдите производную функции \(y=-4\cdot 3^x\).
Решение:
\[y'=-4 \cdot 3^x \cdot \ln 3.\]