Пример 1: Найдите производную функции \(y=\ln(5x^2+1)\).
Решение:
\[y'=\frac{1}{5x^2+1}\cdot (5\cdot 2x)=\frac{10x}{5x^2+1}.\]
Пример 2: Найдите производную функции \(y=(1+5x-x^2)^\frac{1}{4}\) в точке \(x=5\).
Решение:
\[y'=\frac{1}{4 (1+5x-x^2)^\frac{3}{4}}\cdot (5 -2x).\]
Тогда:
\[y'(5)=\frac{1}{4 (1+5\cdot 5-5^2)^\frac{3}{4}}\cdot (5 -2\cdot 5)=-\frac{5}{4}.\]
Пример 3: Найдите производную функции \(y=\tan(x^2-4x)\).
Решение:
\[y'=\frac{1}{\cos^2(x^2-4x)}\cdot (2x-4)=\frac{2x-4}{\cos^2(x^2-4x)}.\]
Пример 4: Найдите производную функции \(y=2^{(5x-3x^2)}\).
Решение:
\[y'=\ln 2 \cdot 2^{(5x-3x^2)} \cdot (5-6x) .\]